动态规划

经典数塔问题

有一金字塔形数塔，要求从顶层走到底层，若每一步只能走到相邻的结点，则经过的结点的数字之和最大是多少？

输入数据首先包括一个整数C,表示测试实例的个数，每个测试实例的第一行是一个整数N(1 <= N <= 100)，表示数塔的高度，接下来用N行数字表示数塔，其中第i行有个i个整数，且所有的整数均在区间[0,99]内。

输入样例

1
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5

输出样例

动态规划代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int f[N][N], dp[N][N];
int main(){
    int C, n;
    cin >> C;
    while(C--) {
        scanf("%d", &n);
        for(int i = 1; i <= n; i ++){
            for(int j = 1; j <= i; j ++){
                scanf("%d", &f[i][j]);
            }
        }
        for(int j = 1; j <= n; j ++)
            dp[n][j] = f[n][j];
        for(int i = n - 1; i >= 1; i --){
            for(int j = 1; j <= i; j ++){
                dp[i][j] = max(dp[i + 1][j], dp[i + 1][j + 1]) + f[i][j];
            }
        }
        printf("%d\n", dp[1][1]);
    }
 
    return 0;
}

分治与动态规划

分治与动态规划都是将问题分解成子问题，然后合并子问题的解得出原问题的解。不同的是，分治分解的子问题是不重叠的（如快速排序将问题分为处理左序列与右序列），而动态规划问题相反。同时，动态规划一定解决的是最优化问题，而分治不一定。

贪心与动态规划

它们都是将问题变成处理子问题，都要求原问题拥有最优子结构。二者的区别在于，贪心类似于“自顶向下”，但是是通过一种最优策略直接选择一个子问题求解，其它子问题则直接舍弃。这就是说，它总是在上一步选择的基础上继续选择，整个过程是单链的。显然，这种“最优选择策略”的正确性需要进一步归纳证明。比如数塔问题，贪心法会从第一层开始，选择下面两数更大的那个一直走下去，显然这并不一定能得到最优解。而动态规划不管是自顶向下还是自底向上，本质上都是从边界开始得到目标问题的最优解。也就是说，它会考虑完所有子问题，并选择继承能得到最优结果的那个，对于暂时没被继承的子问题也不会直接舍弃——由于重叠子问题的存在，后期可能会再次考虑它们，因此它们仍然有机会成为全局最优的一部分。

贪心是一种壮士断腕的决策——只要进行的选择就一直走下去不后悔；动态规划则是动态地考虑问题，看谁能笑到最后——局部的领先不代表全局的领先。